Конкурси, олімпіади

Підготовка до ІІІ туру Всеукраїнської олімпіади з математики

1. Знайти всi значення параметра a, при яких рiвняння x + 4 x + a = 4a, 2x + 4 x + a = 8a є рiвносильнi. Вiдповiдь обгрунтувати. 

 2. Для всiх дiйсних значень параметра a розв’язати нерiвнiсть 2013√ x + 2a + 2014√ x − 2a < 2013√ 4a. 

 3. Довести, що для будь-якого прямокутного трикутника виконуються нерiвностi 0, 4 < r h < 0, 5, де r — радiус вписаного кола, h — висота, проведена до гiпотенузи.

4. Довести, що рiвняння x 2014 = y(y + x)(y + 2x)(y + 3x). . .(y + 2013x) у цiлих числах x, y має єдиний розв’язок. 

5. Знайти всi значення параметра a, при яких рiвняння 1 + sin2 ax = cos x має єдиний розв’язок?

Переможцями ІІ туру Всеукраїнської олімпіади з математики є Луцик Анжела та Варчук Дмитро


Проведена шкільна олімпіада, переможцями якої стали 

ІІ гімн клас
Луцик Анжела
Мудрик Богдан

VІ гімн клас
Варчук Дмитро
Луцик Ростислав


Готуємось до олімпіади

Олімпіадні завдання з математики для 6 класу

1. Чи можна подати число 91 у вигляді суми кількох натуральних чисел, добуток яких також дорівнює 91? 

2. Вася склав куб з 27 кубиків, а потім пофарбував його поверхню в синій колір. Потім Петро забрав всі кубики, у яких були пофарбовані хоча б дві грані. Скільки кубиків взяв собі Петро?

3. Петро і Вася розрізали два однакових прямокутника. У Петра вийшло два прямокутники з периметром 40 см кожен, а у Васі - два прямокутники з периметром 50 см кожен. Який периметр мали початкові прямокутники? 

 4. На прямій відмітили кілька точок. Після цього між кожними двома сусідніми точками поставили ще по точці. Таку операцію виконали кілька разів (може бути один раз). В результаті на прямий виявилося 65 точок. Скільки точок могло бути на прямій спочатку? 

5. На острові, населення якого становлять тільки лицарі, що говорять правду, і брехуни, які завжди брешуть, знаходиться науково-дослідний інститут (НДІ). Кожний із його співробітників зробив одного разу дві заяви: а) в інституті немає і десятка людей, що працюють більше від мене; б) принаймні сто осіб в інституті отримують зарплату більшу, ніж моя. Відомо, що навантаження у всіх працівників різне, як і зарплата. Скільки людей працює в НДІ? 

1. Вартість товару підвищилась у січні на 25%, у лютому - на 50% і в березні - на 60%. На скільки відсотків збільшилась вартість товару в результаті вказаних підвищень?

2. Дано 2016 різних цілих чисел. Чи існують серед них такі щоб їх різниця ділилась на 2015?

3. На яку найменшу кількість частин можна розрізати прямокутник  4х9 так, щоб з нього можна було скласти квадрат 6х6?

4. Серед 40 однакових на вигляд монет є дві однаково фальшиві. Відомо, що вони легші від справжніх. Як за допомогою двох зважувань на терезах без гир відібрати 20 справжніх монет?

5. Хлопчик захотів написати листа другу, але він забув трьохзначний номер його будинку. Потім він пригадав,що це число складається з різних цифр, ділиться на 9 і не закінчується нулем, що дві перші цифри - це квадрат натурального числа, а дві останні утворюють двозначне число менше 40. Допоможіть йому відтворити номер будинку.

Олімпіадні завдання з математики для 10 класу

1. Про деяке двозначне число зроблені наступні твердження. «Це число або закінчується на 5, або ділиться на 7». «Це число або більше 20, або закінчується на 9». «Це число або ділиться на 12, або менше 21». Знайдіть усі двозначні числа, які задовольняють умовами задачі.

 2. На розпродажі жуків одного жука продавали за 1 грн. При цьому до кожних десяти куплених жуків один давався безкоштовно, а за кожну сотню оплачених жуків іще дарували 5. Заплативши всі свої гроші, Олена отримала 200 жуків. Скільки в неї було грошей? 

3. 1000 доларів розклали по гаманцях, а гаманці розклали по кишенях. Відомо, що всього гаманців більше, ніж доларів в будь-якій кишені. Чи вірно, що кишень більше, ніж доларів в будь-якому гаманці? ( Класти гаманці один в другий не дозволяється). 

4. Розв'яжіть рівняння: х-2х-400х =9999

 5. На бічних сторонах АВ і ВС рівнобедреного трикутника АВС взято точки Е та F відповідно. Відрізки ЕС та FА перетинаються в точці О. Доведіть, що якщо площа чотирикутника ВЕОF дорівнює площі трикутника АСО, то АЕ = ВF. 

З 24 лютого до 6 квітня 2016 року проводиться обласний дистанційний математичний конкурс "Крок до знань". У конкурсі беруть участь учні 8-9 класів загальноосвітніх  шкіл 

 Інформаційні матеріали Конкурсу  розміщуються на сервері КЗ ЛОР "Львівська обласна Мала академія наук учнівської молоді" www.oman.lviv.ua, вказавши прізвище, ім'я,  клас, назву навчального закладу, домашню адресу,телефон та свою електронну адресу. Конкурс проводиться дистанційно через мережу Інтернет на базі серверу КЗ ЛОР "Львівська обласна Мала академія наук учнівської молоді" www.oman.lviv.ua з 24 лютого до 6 квітня 2016 року. Під час проведення конкурсу учні реєструються, знайомляться із завданнями, розміщеними на сайті, розв'язують їх. 

    Розв'язки усіх завдань Конкурсу мають бути виконані  учнями та надіслані до оргкомітету до 16 березня 2016 року включно. Відповіді на завдання,які розміщені на сайті www.oman.lviv.ua, потрібно надіслати на адресу електронної пошти krokdoznan@gmail.com, вказавшив в темі листа свій клас і прізвище.

   Завдання конкурсу складаються з двох частин. Розв'язки завдань першої частини зводиться до вибору правильної відповіді із запропонованих. Пам'ятайте, що серед наведених відповідей завжди є правильна і тільки одна.  

 Розв'язки завдань другої частини потрібно оформити з усіма необхідними поясненнями і обгрунтуваннями. Підводячи підсумки, журі буде враховувати обгрунтованість міркувань,повноту розв'язку та його оригінальність.
Телефон для  довідок: 261-22-58

Увага! 17 березня відбудеться міжнародний конкурс "Кенгуру"

Завдання ІІІ етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики

9 клас

1. Визначити всi значення параметра a, при яких рiвняння (a − 3)x = a − 3, (a − 3)(a + 4)x = (a − 3)(a + 4) є рiвносильними. Вiдповiдь обгрунтувати.

2. Цiлi числа m, n такi, що число n 2 n + 2014 · m — цiле. Чи число 20142 · m3 n + 2014 · m — цiле?Вiдповiдь обгрунтувати.

3. Периметри двох подiбних прямокутних трикутникiв вiдносяться як 1: 8. В одного з трикутникiв довжина гiпотенузи бiльша за довжину бiльшого катета на 16 см, а у iншого – сума довжин гiпотенузи i меншого катета дорiвнює 16 см. Знайдiть довжини сторiн цих трикутникiв.

4. Довести, що для кожного натурального значення n цiла частина [a] числа a = (√ n + √ n + 1)2 при дiленнi на 4 дає остачу 1. Нагадаємо, що цiлою частиною [a] дiйсного числа a називається найбiльше цiле число, яке не перевищує цього числа, наприклад, [−0, 5] = −1, [0, 5] = 0, [3, 5] = 3. 

12.10. 2015 року відбувся І тур олімпіади з математики серед учнів 5-го гімназійного класу, переможцями якої стали Луцик Ростислав і Варчук Дмитро. 

14.11. 2015 року відбудеться ІІ тур олімпіади з математики.

Умови завдань ІІ (районного, міського) етапу
Всеукраїнської учнівської олімпіади юних математиків
2013-2014 навчальний рік

6       клас

1.     Відновити запис додавання. Кожна буква означає цифру. Однаковими буквами позначені однакові цифри.

2. 96 дітей у літньому таборі мають поділитися на декілька груп з однаковою кількістю дітей у кожній. Скількома різними способами (способи вважаються різними, якщо вони відрізняються кількістю дітей у групах) вони можуть це зробити, якщо кожна група повинна містити більше ніж 5 дітей, але менше, ніж 20? Відповідь пояснити.

3.     Одного разу вчителька, увійшовши до класу, побачила, що деякі учні принесли до школи своїх чотириногих вихованців. У класі було багато таких істот: собаки, кішки, черепахи і навіть козеня. Вчителька нарахувала 30 голів і 76 ніг. Скільки в класі було учнів і тварин?

4.     Кожен із чотирьох гномів – Беня, Веня, Євген і Сеня або завжди говорять правду, або завжди брешуть. Ми почули таку розмову:

Беня каже Вені: «Ти брехун!»

Євген каже Бені: «Сам ти брехун!»

Сеня каже Євгену: «Вони обидва брехуни, та й ти теж!»

Хто з них говорить правду?

5.     Вилучіть 4 сірники так, щоб одержати:

а) 5 однакових квадратів;

б) 5 різних за величиною квадратів.

7       клас

1.     Розмістити в порожніх клітинках цілі числа так, щоб сума чисел в будь-яких трьох сусідніх клітинках дорівнювала 99. Числа можуть повторюватися.

34

32

2.     Ціну на підручник з математики спочатку підвищили на 25%, а потім знизили на 20%. Коли підручник коштував дорожче: до підвищення ціни чи після зниження?

3.     Розмістити 6 точок на чотирьох прямих так, щоб на кожній з них було по 3 точки.

4.     Відомо, що  a – 1 = b + 2 = c – 3 = d + 4 = e – 5. Яке серед чисел a, b, c, d, e буде найбільшим?

5.      До якого степеня треба піднести число , щоб отримати  ?

8       клас

1.     У трикутнику АВС відрізок АМ – медіана, а точка N – її середина. Пряма BN перетинає сторону АС в точці К. В якому відношенні

точка К ділить цю сторону?

2.     Побудувати графік функції y =  3x + ǀ5x - 10ǀ.

3.     Якщо між цифрами двозначного числа вписати це ж саме число, то одержане чотиризначне число буде більше від даного в 77 разів. Знайти це число.

4.     Опитування показало, що  покупців споживають товар А і  покупців – товар В. Після того, як була проведена рекламна кампанія товару В,

   покупців, що надавали перевагу продукту А, стали споживати продукт В. Яким є відношення кількостей споживачів продуктів А та В після рекламної кампанії?

5.     Точки A, B, C і D відмічено на прямій у певному порядку. Відомо, що AB = 13, BC = 11, CD = 14, DA = 12. Якою є  відстань між крайніми двома точками ?

9       клас

1.     Розв’язати систему рівнянь:

2.     Побудувати графік функції  y = | x² - 6x + 8|.

3.     Довести нерівність a² + b² + 1 ≥ ab + a + b.

4.     AF – медіана трикутника ABC. Нехай D – середина AF, E – точка перетину прямої CD зі стороною AB і BD = BF = CF. Довести, що AE = DE.

5.     При яких значеннях параметра а один з коренів рівняння

x² - 2(a +3)x + a² - 3a + 2 = 0 у 2 рази більший за другий?

10  клас

1.            Від правильного трикутника відрізали трикутник так, що утворилась рівнобічна трапеція. Дві такі трапеції приклали сторонами так, що утворився паралелограм. Периметр цього паралелограма на 10 см більший від периметра даного трикутника. Яким є периметр цього трикутника?

2.            Побудувати графік функції: y =  .

3.            Розв’язати нерівність:  < 4 - x.

4.            Чотири довільні точки A, B, C, D простору з’єднані між собою відрізками AB, BC, CD, DA; середини цих відрізків позначимо відповідно М, N, P, Q. Яка утвориться фігура, якщо провести відрізки MN, NP, PQ, QM?

5.            У новосформованому десятому класі деякі учні виявилися вже знайомими між собою, а деякі – ні. В перший день навчання кожна дівчинка замріяно подивилася на кожного із знайомих хлопців, тоді як кожен хлопець замріяно  подивився на кожну з незнайомих дівчат. Усього було 117 замріяних поглядів. Скільки в класі хлопців і скільки дівчат, якщо всього в класі не більше 40 учнів?

11 клас

1.     На вступних екзаменах в університет учень повинен відповісти на 80% питань правильно. Петро опрацював 15 питань. Він упевнений, що на 10 з них відповів правильно. Якщо Петро відповість правильно на всі питання, що залишились у тесті, він пройде тест рівно на 80%. Скільки питань у тесті?

2.     Розв’язати систему рівнянь:  

3.       Довести нерівність: (1 +  )(1 + ) ≥ 9, якщо x + y =1, x > 0,  y > 0.

4.     На сторонах ВС, СА, АВ трикутника АВС взяті точки А₁, В₁, С₁ такі, що ВА₁ : АС₁ = СВ₁ : В₁А = АС₁ : С₁В = 1 : 2. При перетині відрізків АА₁,  ВВ₁, СС₁ утворюється трикутник. Знайдіть відношення площі цього трикутника до площі трикутника АВС.

5.     Знайти квадратний тричлен з цілими коефіцієнтами такий, щоб один із його коренів був 1 - .

Завдання ІІ етапу Всеукраїнської  олімпіади з математики 2010р.

6  клас

1.                Одну із сторін прямокутника збільшили на 20%, а другу зменшили на 20%. Як і на скільки відсотків змінилась площа прямокутника?

2.                В одному місяці три середи випали на парні числа. Якого числа в цьому місяці була друга неділя?

3.                Найбільше спільне кратне двох чисел дорівнює 240, а їх найбільший спільний дільник дорівнює 8. Знайти ці числа, якщо відомо, що менше з чисел містить тільки один множник 5, який не входить у більше число.

4.                Довжина ребра куба 1 метр. Цей куб розрізали на кубики, довжина ребра кожного з них рівна 2 мм. Потім їх розклали в один ряд. Знайти довжину цього ряду.

5.                Відстань між містами А і В 300 км. З цих двох міст одночасно виїжджають один одному назустріч два велосипедисти і їдуть не зупиняючись із швидкістю 50км/год. Разом із першим велосипедистом вилітає муха, яка пролітає в годину 100 км. Вона обганяє першого велосипедиста і летить на зустріч другому. Зустрівши його, знову летить назустріч першому велосипедисту, і так вона продовжує літати туди і назад, поки велосипедисти не зустрічаються. Тоді вона заспокоюється і сідає одному з велосипедистів на капелюх. Скільки кілометрів пролетіла муха?

Завдання ІІ етапу Всеукраїнської  олімпіади з математики 2010р.

7  клас

1.            Знайдіть значення виразу

2.            Велосипедист, рухаючись із пункту А в пункт В, збільшив свою швидкість на 30% і повертаючись назад, зменшив швидкість на 20%. На скільки відсотків зросла початкова швидкість?

3.            Якщо до трицифрового числа зліва дописати цифру 8 і до утвореного чотирицифрового числа додати 619, то сума буде в 40 разів більша, ніж дане трицифрове число. Знайдіть це число.

4.            Є 9 монет, одна з них фальшива (легша від справжньої). За два зважування на шалькових терезах без гир знайдіть фальшиву монету.

5.            Скільки існує трикутників, довжини яких є цілими числами, а периметр дорівнює 30?

Завдання ІІ етапу Всеукраїнської  олімпіади з математики 2010р.

8 клас

1.                Побудувати графік функції .

2.                Знайти, при яких натуральних значеннях n, набуває натуральних значень дріб  .

3.                Мені зараз вдвічі більше років, ніж було Вам тоді, коли мені було стільки ж років, скільки Вам зараз. Нам обом разом 70 років. Скільки мені років.

4.                З квадратного аркушу паперу в клітинку, який містить ціле число клітинок, вирізали квадрат, у якому також виявилось ціле число клітинок. На частині аркуша, що залишилась, рівно 124 клітинки. Скільки клітинок мав аркуш паперу?

5.                Про трапецію ABCD відомо, що  AD та ВС її основи і АВ=ВС=0,5AD, ÐADС=19°. Знайдіть ÐBАD.

Завдання ІІ етапу Всеукраїнської  олімпіади з математики 2010р.

9       клас

1.                 Побудувати графік функції

2.                Знайти квадратний тричлен з цілими коефіцієнтами такий, щоб один з його коренів дорівнював .

3.                У якому випадку катер витратить більше часу: якщо пропливе 30 км за течією річки і 30 км проти течії, чи якщо пропливе 60 км у стоячій воді?

4.                Радіус кола, вписаного в рівнобічну трапецію  у три рази більший від радіуса кола, вписаного в трапецію . , . Знайти .

5.                Чи  можна занумерувати ребра куба натуральними числами від 1 до 12, використовуючи кожне число лише один раз, щоб сума номерів ребер, які сходяться в кожній вершині була однаковою?

Завдання ІІ етапу Всеукраїнської  олімпіади з математики 2010р.

10  клас

1.     Розв’язати нерівність .

2.     Чи існує таке натуральне число n, щоб сума

дорівнювала трицифровому числу з однаковими цифрами?

3.     Скільки розв’язків має рівняння , де  – ціла частина числа  (тобто найбільше ціле число, що не перевищує ).

4.     Чи  можна занумерувати ребра куба натуральними числами від 1 до 12, використовуючи кожне число лише один раз, щоб сума номерів ребер, які сходяться в кожній вершині була однаковою?

5.     У просторі вибрано 9 точок так, що вони лежать на чотирьох прямих, паралельних прямій a, а також – на трьох прямих, паралельних прямій b, причому прямі a і b – не є паралельними. Чи обов’язково ці  9 точок лежать в одній площині?

Завдання ІІ етапу Всеукраїнської  олімпіади з математики 2010р.

11  клас

1.  Довести тотожність ,     де .

2.  Довести, що при додатних х та у виконується нерівність:

3.  Потужність цеху складає 100 виробів А або 300 виробів В за добу. Відділ технічного контролю може перевірити не більше 150 виробів. Виріб А коштує вдвічі дорожче виробу В. Скільки виробів обох типів має випускати цех за добу, щоб загальна вартість продукції була максимальною?

4.  Знайти всі функції , що задовольняють рівняння .

5.   Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює a, а бічне ребро дорівнює b. У перерізі цієї піраміди деякою площиною, паралельною бічному ребру і мимобіжній з ним стороні основи, утворився квадрат. Знайдіть його сторону.